Distancia y Rumbo

Mucho hemos hablado de Latitud y Longitud, pero ciertamente sin explicar con claridad a que nos estamos refiriendo.

Estas dos coordenadas geográficas indican la distancia en grados sexagesimales desde el punto en cuestión hasta las líneas base de referencia; el paralelo cero o Ecuador para la Latitud, y el meridiano cero o meridiano de Greenwich para la Longitud.

Para la Latitud, sabiendo que la circunferencia que corresponde al Ecuador mide 40076 km, 1º equivale a 113.3 km.

Para la Longitud, sabiendo que junto con sus correspondientes antimeridianos se forman circunferencias de 40007 km de longitud, 1º equivale a 111.11 km.

A veces es conveniente usar en diversos problemas el concepto de Colatitud, que es el complemento de la latitud a 90º, es decir es el ángulo que forma la vertical del lugar con el eje Norte-Sur, o bien, dicho de otro modo, el arco de meridiano terrestre comprendido entre el lugar y el polo geográfico más próximo. Es evidente, en definitiva, que para un lugar cualquiera de la superficie terrestre es: Latitud + Colatitud = 90º.

La distancia entre dos puntos, P y P' de la superficie de la Tierra es la longitud del arco de círculo máximo comprendido entre el punto P y el punto P'. Para hacer estos cálculos aproximaremos el elipsoide terrestre por la forma esférica, y calcularemos el arco de círculo máximo entre ambos puntos mediante la fórmula de los cosenos de la trigonometría esférica.

Sean los puntos P y P' dados por sus coordenadas:

• P -> Latitud: θ Longitud: λ Colatitud: φ = 90º - θ
• P' -> Latitud: θ' Longitud: λ' Colatitud: φ' = 90º - θ'

Sea ahora el triángulo esférico P-N-P' formado por ambos puntos y el polo Norte. Se conocen los lados PN= φ y P'N= φ' , así como el ángulo diedro PNP'= λ - λ' . Por tanto, aplicando el teorema de los cosenos de la geometría esférica podemos calcular el tercer lado de dicho triángulo a partir del arco de círculo máximo entre ambos puntos:

cos α_PP' = cos φ · cos φ' + sen φ · sen φ' · cos (λ - λ')

α_PP' = arc cos [cos φ · cos φ' + sen φ · sen φ' · cos (λ - λ')]

Para calcular la distancia d entre los puntos P y P' emplearemos la proporción de 360º a 40000 kilómetros con la del arco α_PP' a su longitud d_PP'

dPP' =	40000	αPP'
	360

Se obtiene así la siguiente fórmula aproximada:

dPP' =	40000	arc cos [cos φ · cos φ' + sen φ · sen φ' · cos (λ - λ')]
	360

El camino más corto para desplazarse desde el punto P al punto P', es el arco de círculo máximo comprendido entre P y P'. La orientación de ese arco con respecto al polo Norte, es decir el ángulo N_PP', es el Rumbo que ha de seguir un objeto en navegación desde P a P'.

Dicho de otro modo, el rumbo de navegación desde un punto P a un punto P' es el ángulo que forma el arco de círculo máximo PP' con el meridiano PN, en la dirección del Norte.

El Rumbo a seguir para desplazarse por un arco de círculo máximo desde el punto P al punto P' cumple el teorema de los senos:

sen NPP'	=	sen (λ - λ')	-> NPP' =	sen φ' · cos (λ - λ')
sen φ'		sen dPP'		sen dPP'

Se tiene en definitiva:

rumbo = NPP' = arc sen		sen φ · sen (λ - λ')
		sen dPP'

Expresado en función de las coordenadas de los puntos P y P':

rumbo = arc sen		sen φ · sen (λ - λ')
		sen [ arc cos [cos φ · cos φ' + sen φ · sen φ' · cos (λ - λ')]]

De esta forma tan sencilla podemos calcular la distancia y el rumbo entre dos puntos cuyas coordenadas geográficas son conocidas.